11주 : 로또와 나비효과 2 : 혼돈이론과 복잡계 물리학

혼돈이론(Chaos theory)

- 나비효과

- 통계물리학의 연장선상에서 발전

- 1970년대 본격적으로 연구

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초기조건의 민감성

주사위, 동전, 사다리타기

하나만을 선택하였음에도 결과가 무시무시하게 나올 수 있는 경우

일상생활의 예

- 버스

1. 30초 늦게 일어났다.

2. 버스를 놓쳤다.

3. 놓친 버스가 사고나서 많은 사람이 다쳤다.

- 당구

삑사리로 인해 상대와의 점수차가 크게 벌어진다.

※ 빵반죽 변환(baker's transformation)

 출처 : https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%A4%E3%81%93%E3%81%AD%E5%A4%89%E6%8F%9B

빵의 반죽을 늘리고 접고, 뭉게는 행동을 계속 반복하면

엔트로피가 증가하게 되는 것

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로지스틱 방정식(결정론적인 혼돈)

* 맬서스의 인구론 *

- 1798년에 로버트 맬서스가 발표한 논문

- 기사급수적인 인구 증가

출산율 일정 > 매년 일정하게 인구 증가

(내년 인구) =  r(올해 인구)

"식량이 부족해지는 때가 반드시 오고, 그때가 되면 지구에 큰 위기가 닥친다."

- 인구감소

이를 맬서스의 인구론의 위기를 극복하기 위한 수정식

* 로지스틱 방정식 *

N : 지구에 살 수 있는 최대 인구에 대한 현재 인구의 비율

인구보다는 세균 배양에 적용이 된다.

r : 인구 증가율, 높아지면 높아질수록 혼돈스럽다(Chaotic)

※ 갈라짐 곡선(Bifurcation map)

로지스틱 방정식에서 r값의 증가에 따라 나타나는 결과의 분포도를 나타내는 것이다.

r값 3.6을 기준으로 단순(Order), 혼돈(Chaos)로 나뉜다.

출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_diagram

하지만 이 갈라짐곡선에서 3.7에서 3.9 구간을 확대해서 보면 2.4에서 3.6구간과 비슷한 모양들이 존재한다. 이를 혼돈 속의 질서(Order out of chaos)라고 한다.

따라서 갈라짐곡선은 '자기유사성'이 있기 때문에 100% 정확하게 그릴 수는 없다.

★ 프랙탈(Fractal) ★

일부분이 전체와 비슷한 형태로 무한 반복되는 구조

갈라짐 곡선같은 구조를 프랙탈이라고한다.

※ 1970년대 생태학의 논쟁

생물의 개체 수는 예외는 있지만 규칙에 따르면 안정적이다.

VS

생물의 개체 수는 예외는 있지만 불규칙하게 변동한다.

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* 로렌츠의 발견(1961) / 나비효과 *

- 기상현상의 시뮬레이션

- 초기조건이 약간 달라져도 기후가 완전히 달라졌다.

- 이 모양이 나비와 비슷하여 나비효과(Butterfly effect)라고 하였다.

출처 : https://youtu.be/dP3qAq9RNLg

* 망델브로 집합 / 프랙탈*

복소수 평면을 반복했을 때 무한대가 되지 않는 점들의 집합

출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set

이 구조를 확대나 축소를 하면 또 다른 규칙적인 모양이 나타나고 이것이 무한한 규칙이 나와, 안과 밖의 경계를 정할 수 없는 것을 말한다.

이를 프렉탈(Fractal)이라고 한다.

출처 : https://youtu.be/7hUi3UxlLys

이 외에도 다양한 프랙탈이 존재 한다.

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자기조직화(Self-organization)

- 열린계(Open system)에서 외부의 강요 없이 자발적으로 조직적인 성질을 만들어내는 것

- 그 계의 엔트로피는 감소하므로 필연적으로 외부에 엔트로피를 발산해야 한다.

조직적인 구조를 형성하고 있는 물체들의 경우에는 내부 구조가 프랙탈 구조를 보이는 경우가 많다.

혼돈 상태 속에 질서가 숨어있다.

※ 집단적 동화 현상

- 수많은 반딧불이의 일치된 반짝거림

- 연주회장 관객의 박수소리

- 마라톤 그룹 형성

* 복잡계 물리학(Physics of complex systems) *

겉보기에는 전혀 규칙이 없어 보이는 아주 무질서하고 복잡한 현상들도 사실 잘 보면 그 안에 숨은 질서가 숨어있다.

혼돈 이론, 네트워크 이론 등이 있다.